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让我们来仔细研究一下这个事实所导致的一些结果。
若z=x＋iy，展开括号和对乘法重新排序，可得i（x＋iy）=-y＋ix，因此点（x，y）经过这个旋转变成了（-y，x），如图15。
这样，乘以i可以看作在平面上对点操作。
这一操作有一个特殊性质，即对于任意两点z和w，以及任意实数a，我们有i（z＋）=a（iw）。
图15乘以i将一个复数旋转一个直角
另外，如果我们将一个实数a乘上一个复数（x＋iy），我们得a（x＋iy）=ax＋i（ay）。
用复平面上的点来说，我们将（x，y）移动到了（ax，ay），或者用另一种方法写就是a（x，y）=（ax，ay）。
具有这两条性质的一类运算称为线性的（linear），它们在数学的所有领域都极其重要。
这里，我只希望提醒你注意一个事实，那就是这样一个运算L的效果完全由它在两个点（1，0）和（0，1）上的行为决定。
因为让我们假设L（1，0）=（a，b）和L（0，1）=（c，d），那么对于任何点（x，y），我们有（x，y）=x（1，0）＋y（0，1），于是应用线性运算的性质，我们得到：
L（x，y）=L（x（1，0）＋y（0，1））=xL（1，0）＋yL（0，1）
=x（a，b）＋y（c，d）=（ax，bx）＋（cy，dy）
=（ax＋cy，bx＋dy）。
这些信息可以总结在所谓的矩阵方程（matrixequation）中：
这里我们举了矩阵相乘的一个例子，它展示了这样的运算在一般情况下如何进行。
矩阵（matrix）是由数组成的矩形阵列，它代表了另一种二维的数的对象。
矩阵渗透了高等数学的几乎所有领域，同时包括纯数学和应用数学。
它们代表了代数学中的一个重要部分。
矩阵已经被证明有用到什么程度呢？现代数学的很大一部分便是努力要将自己用矩阵的语言表达出来。
两个有相同行数和列数的矩阵可以逐项相加。
比如，要找到两个矩阵之和的第二行第三列的元素，我们只需要将两个矩阵中相应位置的元素相加。
不过，乘法赋予了矩阵一个新的重要特点，前面这个例子已经体现出了矩阵乘法的规则——积矩阵中的每个元素都是第一个矩阵的某行与第二个矩阵中的某列进行点乘（dotproduct）得到的。
这是说，第一个矩阵的某行元素与第二个矩阵的某列元素分别相乘后再相加。
矩阵遵循代数里通常的法则，除了乘法交换律（utativityofmultipli）。
也就是说，对于两个矩阵A和B，一般来说AB=BA是不对的。
然而，矩阵乘法是可结合的（associative），这意味着书写任意长度的矩阵连乘时，不需要括号也不会引起歧义。
平面上的线性变换（liransformation）通常是指绕着原点的旋转、相对于通过原点的直线的反射、相对原点的扩大或收缩，以及所谓的剪切（shear），或者说搓（slanting）。
剪切是指让点平行于一根固定的轴移动，移动的长度与每个点到固定轴的距离成正比，就类似于一本书的各页可以依次滑动那样。
对于任意一连串这样的变换，其效果都可以通过将所有对应的矩阵乘在一起来体现，这会给我们一个单独的矩阵，它包含了所有这些变换依次执行之后的最终效果。
就像我们已经看到的那样，得到矩阵的各行正是两个点（1，0）和（0，1）经过变换后得到的像。
这两个点称为基向量（basisvector）。
现在，对于代表绕原点逆时针旋转直角的矩阵J，我们自然地认为它应该模仿乘以虚单位i时我们观察到的数的行为。
因为点（1，0）被转到了点（0，1），类似地点（0，1）移动到了（-1，0），所以这两个新向量组成了矩阵J的行。
将J平方可得一个矩阵，它的几何效果是把点绕原点转过2×90°=180°。
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