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也就是说，我们将这个区域平移（translate）到平面上的另一个位置，而它的形状、大小和姿态都保持不变，这里姿态不变是指该区域没有经过任何旋转或反射。
但是，将你的区域中每个点都乘以z=（r，θ）则有两个效果，一个由r引起，另一个由θ造成。
区域内每个点的模都增大r倍，因此该区域的所有尺寸也都增大了r倍（因而它的面积乘了因数r2）。
当然，如果r〈1，那么我们最好把这个“扩张”
描述成收缩，因为新的区域会比原来的小。
不过，区域将保持它的形状——例如，一个三角形会被映射为一个相似的三角形，它的各个角和以前一样大。
θ的作用就像我们上面已经解释过的，是将区域沿逆时针方向绕极点转过角度θ。
那么，将你的区域中所有点都乘上z的总效果是扩展区域，并绕极点旋转。
新的区域将和之前的有同样的形状，但取决于r的大小，会有不同的尺寸，同时将会有一个不同的姿态，这是由旋转角θ决定的。
其他结果
复数有极多的应用，甚至是在很基础的层次上。
直角坐标和极坐标的相互转换将三角函数引入了进来，这种应用方式有很多优点。
例如，推导重要的三角恒等式是一道标准的学生习题，而在用了极坐标后，这些等式是十分自然的结论。
取任意单位模（即r=1）的复数，用直角坐标和极坐标分别计算它的某次幂，令这两种形式的答案相等，这就给出了一个三角方程。
由基本的三角学可知，极坐标为（1，θ）的点的直角坐标是（θ）。
如果我们现在将两个这样的复数z=θ和w=φ在直角坐标中相乘，可得：
zw=（cosθθsinφ）＋i（φ＋sinθcosφ）。
同样的乘法在极坐标中给出：
zw=（1，θ）（1，φ）=（1，θ＋φ）=cos（θ＋φ）＋sin（θ＋φ）。
对比该乘积的两个版本的实部和虚部，就可以轻松得到三角学中标准的和角公式：
cos（θ＋φ）=cosθθsinφ，
sin（θ＋φ）=φ＋sinθcosφ。
或者，极坐标形式的复乘法可以由这些三角公式推导出。
实际上，我们在这里未经证明就给出了极坐标形式下的乘法，它通常是将三角公式应用于直角坐标形式来推导出的。
现在，随着复数的使用，指数函数——或者说幂函数与看起来无关的三角函数之间的联系浮现了出来，更多的结果可以因此轻松得到。
假如我们没有跨入由-1的平方根所提供的传送门，我们也许可以窥见这一联系，但却不能理解它。
分别取指数函数中被称为偶的和奇的部分，就产生了所谓的双曲函数（hyperboli）。
对于每个三角恒等式，除了符号上可能不同，都相应存在一个等价的由双曲函数表达的形式。
在任何具体例子中，这都可以轻松验证。
问题是为什么会发生这一现象？一类函数的行为为何会如此紧密地反映在另一类中，而后者来自完全不同的定义、具有完全不同的性质？解开这一谜团的关键在于公式eiθ=θ，它表明指数函数和三角函数其实是紧密相连的，但这只能通过使用虚单位i做到。
一旦发现了这一点（它令人惊讶，一点也不明显），用这个公式提供的两种可互换的表示方式计算，再令实部和虚部分别相等，我们就可以清楚地看到之前描述的那些结果都是顺理成章的。
但要是没有这个公式，所有这些依然是个谜。
复数和矩阵
乘以i代表绕复平面的中心转动一个直角。
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