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下面我们就通过乘法来计算这个矩阵。
例如，要找出J2右下角的元素，我们取第二行和第二列的点乘，即（-1）×1＋0×0=-1＋0=-1。
完整的计算如下：
矩阵I的行是（10）和（01），它是单位矩阵（identitymatrix）。
这么称呼是因为它就像数1一样，当乘另一个矩阵A时结果还是A。
矩阵-I代表了绕原点半周，它的行为类似于-1，同时（-I）2=I。
所有这些性质的最终结果是，对于实数a和b，矩阵aI＋bJ在加法和乘法的意义上很好地模仿了复数a＋bi的行为，因此它给出了复数域的一个矩阵表示。
对应于典型的复数a＋bi的矩阵是
代表复数的矩阵是满足乘法交换律的。
当然就像之前提到的，这并不能推广到所有矩阵的乘积。
另一个矩阵会出问题的地方是并非所有矩阵都能“逆转”
。
对于大部分方阵A（一个行数和列数相等的矩阵），我们可能找到一个唯一的逆矩阵（irix）B，使得AB=BA=I。
但是，逆矩阵存在与否，取决于一个单独的数。
这个数与相应的方阵联系在一起，叫作它的行列式（determinant）。
笼统地说，从矩阵的每行各取一个数，使它们占据不同的列，将它们相乘并赋予不同的符号，再将所有可能的这样的乘积相加，就得到了行列式。
对于前文介绍的典型的2×2矩阵，行列式即为数△=ad-bc。
行列式用处很多，它具有优良的性质。
例如，△代表了对应的变换的面积缩放因数：一个面积为a的形状经过一个行列式为△的矩阵所对应的变换，会变为面积为△a的形状（倘若△为负，这个形状还会经过一次反射，将原始的朝向颠倒过来）。
另外，两个方阵乘积的行列式，是这些矩阵行列式的乘积。
在△=0时，方阵A没有逆矩阵。
除此情况之外，A有逆矩阵B。
行列式为0在几何上对应于一个退化的（degee）变换，这时变换后得到的图形面积为0，比如说一条线段，甚至是一个单独的点。
对于一个复数z=a＋bi的矩阵，我们注意到△=a2＋b2，它永远不为0，除了z=0的时候。
当然，以前0从来没有倒数，这在更广阔的复数的世界里也仍然适用。
不过，这也确认了每个非零的复数都有一个倒数。
到这里，我们已经站在了一个广阔世界的边缘，前方是线性代数、表示论[1]以及它们在多元微积分里的应用。
我们就不再往远处走了。
但是，读者应该知道矩阵其实不仅仅适用于三维，还适用于n维空间，通常这是通过n×n大小的矩阵实现的。
虽然这些阵列变得更大更复杂了，但是矩阵自己依然是一个二维的数值对象。
复平面以外的数
在两个重要的意义上，所有复数组成的域C是完备的。
假设有一个复数的无穷数列，它的各项往越来越小的圆圈里聚集，圆圈的半径趋向于0，我们称这个数列是收敛的。
任何复数的收敛数列都趋近于一个极限复数。
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