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同样地,下面一行表示结果为“反面”
的6个长方形的面积也是相等的。
图表10-2独立试验的面积
在这个阶段,我们还无法知晓上下两个长方形的面积是否相等。
而当我们把掷骰子出现6点的情况抽取出来,并考虑到这个结果并不会对硬币抛出正面或是反面的概率产生影响,就能判断出,右侧上下的两个长方形的面积是相等的。
于是,从上述的内容我们可以得知:排列成格子形状的12个长方形的面积都是相等的。
那么,用来表示各个试验(把抛硬币和掷骰子两个实验合为一组的试验)结果概率的长方形面积是多少呢?考虑到标准化条件(相加之和为1),就可以知道:每个长方形的面积都是112。
而长方形的个数之所以是12个,原因在于抛硬币的结果共有2种情况,而掷骰子的结果共有6种情况。
接下来我们可以进行以下变形:
长方形的面积
=抛硬币的结果之一的概率×掷骰子的结果之一的概率
根据上面的计算公式,各组试验的具体情况可以表示为:
“正面&1点”
的概率=出现“正面”
的概率×出现“1点”
的概率
或者“反面&5点”
的概率=出现“反面”
的概率×出现“5点”
的概率,等等。
换言之,各组的概率,即为各项概率的乘积。
10-4独立试验概率的乘法公式
本节对上述内容再作一次一般性的描述。
在上一节提到的抛硬币和掷骰子的案例中,长方形被划分为完全均等的面积。
这个例子具有其特殊性,这是因为抛硬币出现“正面”
或“反面”
的概率是相等的,而掷骰子出现从1到6点数的概率也是相等的。
接下来,我们来探讨出现各种情况的概率不等的问题,并对其进行抽象处理。
例如,第一个试验的结果共有可能出现a、b、c、d四种情况,第二个试验的结果共有可能出现x、y、z三种情况。
而每种情况发生的概率各自都不一定相同。
当这两个试验分别独立的情况下,直积试验可以绘制成图表10-3所示的样子。
图表10-3两个独立试验组合而成的直积试验。
抽取其中1行进行横向观察,会发现4个长方形的面积各不相等。
之后,再观察其中1列,会发现3个长方形的面积也是各不相等的。
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