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会推出“否”
，而“否”
会得出“是”
，这迫使罗素得出结论，这样的集合不可能存在。
19世纪90年代，康托尔自己就从“所有集合组成的集合”
这个思想中发现了一个隐含的矛盾。
的确，罗素承认他的悖论受到康托尔工作的启发。
无论如何，我们从所有这些讨论中总结出的经验是：不能简单地想象数学集合可以随意引入，对于如何描述集合需要设置一些限制条件。
从那以后，集合论学家和逻辑学家一直在为这些悖论造成的后果绞尽脑汁。
这些困难最令人满意的解决方案，是现在已经成为标准的ZFC集合论（包含选择公理的策梅罗-弗兰克尔集合理论[3]）。
显微镜下的数轴
图10数轴上任意给定的不同位置都被有理数分隔开
回到给定的数a和b。
再一次，令c为它们的平均值。
如果c是无理数，我们就得到了要求的数（无理数）。
如果c是有理数，设d=c＋t，这里t是上一段我们说到的无理数。
根据之前的结论，d也是无理数。
如果我们让t里面的n足够大，总可以保证d足够接近两个给定数a和b的平均值c，从而也位于它们之间。
这样，我们看到无理数同样组成了一个稠密集（de）。
就像有理数，我们也可以推知数轴上任意两个数之间有无穷多无理数。
因此，有理数集和它的补集——无理数集，在一方面是类似的（它们在数轴上都是稠密的），在另一方面却又不同（前者是可数的，后者则不是）。
康托尔三分集
现在，对于有理数和无理数如何织就整个实数轴，我们已经有了更清晰的认识。
有理数组成了一个可数集合，但同时也稠密地填充在数轴上。
与之相反，康托尔三分集（iddlethirdset）是单位区间的一个不可数子集，却是稀疏分布的。
它是如下文的构造的产物。
图11康托尔三分集第一到四层的形成过程
接下来我们将会有一个令人惊喜的发现。
取C中任意数c的三进制形式，将每个2都替换成1，我们就得到了单位区间中某个数的二进制展开式。
这在C和I的所有数（写成二进制形式）之间建立了一一对应关系。
由此可知，C的势与I相等。
由于后者是一个不可数集（由康托尔对角线论证可得），因此康托尔三分集不仅是无穷的，还是不可数的。
于是我们就有了一个集合C，从某个意义上讲它的大小可以忽略（测度为0），但是用另一种方式估计，C又是巨大的，因为它与I——因而与整段实数轴——等势。
另外，与稠密集相去甚远，owheredense）的。
回忆一下，当我们说一个像有理数这样的集合是稠密的，我们指的是当我们取一个数a时，在a附近的一个小区间里总能找到有理数，不管这个区间有多小，我们都能做得到。
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