天才一秒记住【狂风中文网】地址：https://www.kfzw.net
比如10!=3628800。
阶乘由感叹号来代表，恰恰提醒着我们那令人惊叹的增长速度！
在关于计数的问题——或称为枚举问题中，最特殊的一类数便是二项式系数（bi）。
之所以叫这个名字，是因为它们是将二项式（1＋x）n展开后x的各阶幂次前的系数。
二项式系数，r）代表了我们从n个元素中挑选出r个元素一共有多少种不同的方法。
例如，C（4，2）=6，因为从4个元素中取一对有6种方法（不在乎这两者的次序）。
再具体些，假设我们有4位儿童A，B，C和D，那么有6种方法从中选出1对：AB，AC，AD，BC，BD和CD。
这个用阶乘计算二项式系数的公式确实提供了一种简便的代数方法，使我们能够证明这些系数的许多特殊性质。
然而，如果我们用第二种方法来导出这些整数，这些性质的演化会更清楚。
这种方法基于算术三角形[3]（arithmetigle）（如图2），又称为帕斯卡三角形（Pascal&#le），以纪念17世纪法国数学家和哲学家布莱士·帕斯卡（BlaisePascal，1623——1662）。
算术三角形在过去的1000年里被波斯、印度和中国数学家各自发现。
它出现在1303年朱世杰[4]所著《四元玉鉴》的封面上。
图2算术三角形
算术三角形的结构能够给出正确的答案，这一点不难理解。
每一行都由上一行所产生。
我们可以轻松看出前三行是正确的：例如，第三行中央的2告诉我们从一对人当中选出一位总共有两种方法。
顶端的1表明从空集中选出0个元素就只有一种方法。
实际上，从任意集合中选出0个元素的方法都是一种，这就是为什么每行都从1开始。
我们重点看刚才的例子——共有21=15＋6种方法从7人中选出5人。
这21种选法自然地分成两类。
第一类，有15种方法从前6人中选出4人，我们可以再加上第七位凑成5人组。
或者如果我们不选第七位，则要从前6人中一次选出5人，共有6种方法。
这个例子告诉我们一行是如何生成下一行的：每个元素都是上面两数之和，按照这一模式从上到下建立起整个三角形。
这个规则可用符号表示成以下形式：
-1，r）＋-1，r-1）。
算术三角形蕴含着丰富的规律。
比如：将每行的数分别相加可以得到倍增数列1，2，4，8，16，32，…，即2的各次幂。
以1，8，28，56，…这行为例，我们是在将从8个元素中选出0个、1个、2个、3个……元素的方法个数相加，最后得到的是从8个元素中一次选取任意个数的元素共有多少种方法。
这一数字为28，因为一般一个有n个元素的集合拥有2）。
上面这一事实也可以直接推出，原因是一个n个元素集合的任意一个子集可以使用长度为n的二进制字符串来识别。
方法如下：我们考虑一个集合，比如{a1，a2，…，an}，则一个长度为n的二进制字符串定义了它的一个子集，因为字符串中的每个1表示相应的元素ai存在于我们的子集中。
例如，假设n=4，字符串0111和0000分别代表{a2，a3，a4}和空集。
由于二进制字符串的每个位置都有两种取值选择，因此共有2n个这样的字符串，一个n元素集合便含有2n个子集。
卡特兰数
这种数有种最简单的图形表达，是用n段上斜线段和n段下斜线段能画出多少组不同的“山脉”
（如图3）。
图3用3段上斜线段和3段下斜线段，共有5种山脉形态
本章未完，请点击下一章继续阅读！若浏览器显示没有新章节了，请尝试点击右上角↗️或右下角↘️的菜单，退出阅读模式即可，谢谢！