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因为我们没有办法随心所欲地构造素数，所以在任一时刻，都存在着一个最大的已知素数。
如今，这项桂冠总是落在一个梅森素数头上，这要归功于国际合作的互联网梅森素数大搜索项目（GreatIMersennePrimeSearch，GIMPS）。
这是一个始于1996年的志愿合作项目，它使用上千台并行工作的个人计算机，集成了一整套为此目的定制的算法来检验梅森数的素性。
当前的世界之最是在2008年8月宣布的，它是2p-1，p=43112609。
另外2009年4月又发现了一个新的p为42643801的梅森素数。
这些数有大约1300万位，用普通的十进制记法需要上千页纸才能写下来[2]。
不那么完美的数
传统上人们对数的认识往往集中在单个数上，这些数被认为有特殊的甚至是奇妙的性质，就比如说完美数。
不过，220和284是一对拥有类似特征的数。
它们是第一对相亲数[3]（amicablepair），意思是每个数的真因数之和等于另一个——这是推广到数对的一种完美性。
法国著名的业余数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601——1665）找到了其他的相亲数，如17296和18416，而欧拉更是发现了好几十对。
出人意料的是，他们都漏掉了一对小的数，即1184和1210，这是由16岁的尼可罗·帕格尼尼（Niini）在1866年发现的。
当然，我们还可以走得比数对更远一些，去寻找完美的三元数组、四元数组等。
更长的循环比较罕见，但仍会出现。
我们可以从任何数出发，找到它的真因数之和，接着继续重复这一过程，从而得到所谓的真因数和数列（aliquotsequence）。
结果通常是令人失望的，因为我们一般会得到一条迅速抵达1的链，然后这个过程就终止了。
举例说，即便是从一个看起来很有希望的数开始，比如12，链条还是很短：
12→（1＋2＋3＋4＋6）=16→（1＋2＋4＋8）=15
→（1＋3＋5）=9→（1＋3）=4→（1＋2）=3→1。
困难在于，一旦你碰上一个素数，就结束了。
完美数当然是例外，它们都会给我们一个循环，而相亲数则给我们一个双循环：220→284→220…。
能产生超过两个元素的循环的数叫作多亲数（soumber），相关研究直到20世纪才开始，因为那之前它们从没有被人发现过。
直至今天，还没有生成三元环的多亲数被找到，虽然现在已经知道了120个四元环数链。
最早的一些例子是由P.普莱（P.Poulet）在1918年找到的。
第一个是一个五元环数链：
12496→14288→15472
→14536→14264→12496。
普莱的第二个例子令人惊叹，时至今日还没发现其他能与之比肩的数链：从14316开始，我们得到一个长度为28的循环。
所有已知的其他数的循环长度均小于10。
到今天，关于相亲数和多亲数，还没有像欧几里得和欧拉关于完美数那样漂亮的定理。
不过，由于现代强大的计算能力，这类问题经历了一次由数值实验推动的复兴，人们也得出了一些新的结论。
根据一个数的真因数之和是小于、等于还是大于这个数本身，我们可以将所有数划分为三类：亏数（defiumber）、完美数（perfeumber）和盈数（abundantnumber）。
比如，就像我们已经看到的，12是一个盈数，18和24也是，因为它们的真因数之和分别为21和36。
在整数中进行初步的搜索，你可能由此猜测盈数也就是6的倍数而已。
当然，任何大于6的形如6n的数都是盈的，因为6n的因数一定包含1，2，3以及n，2n，3n，这些加起来大于原来的数6n。
但是，这一观察也可以被推广到不仅限于6的倍数，因为我们可以将同样的推理应用于任何完美数k。
nk的因数将含有1，以及完美数k的所有因数乘上n所得出的数，于是nk的所有真因数加起来至少会得1＋nk。
所以，任何完美数的倍数都是盈的。
例如，28是完美的，因而2×28=56，3×28=84等都是盈的。
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