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比如：
120=12×10=（3×4）×（2×5）
=[3×（2×2）]×（2×5）。
但如果将素因数从小到大重新排列，我们依然得到了与之前相同的结果：120=22×3×5。
至少在上面这个例子中分解的唯一性是真的。
你可能或多或少已经熟悉数的这一性质，但是如何保证这个结论适用于每一个数？任何数都可以分解为素数的乘积，这已经足够清楚了。
但是，一般来说有不止一种办法可以完成这个任务。
那么我们如何确定这个过程总能给出相同的最终结果呢？这是一个重要的问题，因此我将花上一点儿时间概述一下推理的过程，从而使我们能绝对信赖这个结论的正确性。
这个结果来自素数的一个特殊性质，我们叫它欧几里得性质（Euproperty）：假设有一个由两个或更多数相乘得到的积，如果一个素数是该乘积的一个因数，那么它也是构成这个乘积的某个因数的因数。
比如，7是8×35=280（也可以看作乘积280=7×40）的一个因数，同时我们注意到7也是35的一个因数。
这个性质刻画了素数的特征，因为没有合数能够保证同样的结论成立。
例如，我们可以看出6是8×15=120（也可以看作120=6×20）的一个因数，6却不是8或15的因数。
素数总是拥有以上性质，这一事实可以用被称为欧几里得算法[1]（Eualgorithm）的推理来证明。
我们将在第4章解释这个算法。
如果我们暂且相信这个结果，那么就不难解释为什么不存在一个数拥有两个不同的素因数分解。
假设存在拥有两个不同素因数分解的数，那么就存在一个最小的这样的数，让我们用n表示它。
n有两种素因数分解。
当把n的素因数从小到大排列的时候，这两个分解不相同。
我们要证明这是矛盾的，因而假设一定为假。
值得一提的是，如果我们把数1包括在素数里，素因数分解的唯一性将不再成立。
这是因为我们可以将1的任意幂次方乘上一个分解式，最后的积保持不变。
这表明1和素数们有着本质上的不同。
基于此，把1排除在素数的定义之外是正确的。
欧几里得：素数的无穷性
让我们回到这个问题：我们怎么知道素数无穷无尽，没有办法找到最大的素数？如果有人声称101是最大的素数，你即刻便能反驳他，因为你可以证明103没有因数（除了1和103以外），因此103是一个更大的素数。
接下来你的朋友可能会承认自己大意了，他应该说103是所有素数中最大的。
这时候你还可以指出107也是一个素数，从而再次表明他错了。
然而你的朋友可能还是执迷不悟，他搬出你们所知的最大的素数。
他甚至可能退一小步，承认自己并不知道最大的素数是多少，却继续说他很确定有这么一个数。
解决这个问题最好的方法是：对于任何假想的有限的素数集合，证明我们都能给出一个不在这个集合中的新的素数。
比方说，如果有人号称在某个位置存在一个最大的奇数。
你可以反驳说，假如n是奇数，那么n＋2是一个更大的奇数，因而不可能有一个最大的奇数。
然而，这个方法对于素数来说可就不那么简单了——给定一串有限的素数，我们没有办法使用这个集合来造出一个素数，并且表明它比集合中所有的数都大。
那么，或许真的有一个最大的素数？我们怎么才能知道那位固执的朋友是不对的呢？
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