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也就是说,“如果每天都对期待值进行统计,那么长期来看,结果与实际情况是基本保持一致的”
。
这意味着“从长期的角度来看,期待值的合计结果与实际情况一致”
。
以上就是针对“期待值”
含义的最直观的说明。
18-4期待值可以作为使概率分布图保持平衡的支点
以下,针对如何理解期待值的图像进行说明。
结论是,期待值可以作为使概率分布图保持平衡的支点。
可以使用瓦楞纸板支等制成图表18-2所示的具体天气概率分布图的立体模型,类似两臂平伸姿势的挑担偶人玩具。
此时,如果将表示期待值的点作为支点,左右两侧将保持平衡,模型整体会处于稳定状态。
图表18-2期待值处为平衡支点
能够保持平衡的原因如下:
以m为支点,那么x处的旋转力(专业上称为力矩)为:
(纵轴的高度)×(x-m)
正向的旋转力为顺时针方向,负向的旋转力为逆时针方向。
例如,在点1处,逆时针方向的旋转力为0.3×(1-m)。
图表18-3挑担偶人上的旋转力
“挑担偶人保持平衡稳定的状态”
,是指旋转力的和为0(正反两个方向都不受力)。
因此,使以下等式成立的m,就是“平衡的支点”
。
0.3×(1-m)+0.4×(2-m)+0.2×(3-m)+0.1×(4-m)=0
该式可转化为,
1×0.3+2×0.4+3×0.2+4×0.1=(0.3+0.4+0.2+0.1)m
在进行计算时,根据标准化条件得知,等号右边的括号中各项之和为1,而毫无疑问,等号左边为期待值,即:
(x的期待值)=m
也就是说,如果将期待值的数值作为支点m,就可以使两侧的旋转力之和为0,实现平衡。
这一原理在所有的概率分布中都成立。
18-5计算掷骰子和生女孩案例中的期待值
我们已经了解了期待值的概念和含义,下面来试着计算以下两个例子中的期待值,并用图来表示。
第一个例子,掷骰子的期待值。
基本事件为:
{1,2,3,4,5,6}
概率为:
依据期待值的定义进行计算:
如果沿着“使挑担偶人保持平衡”
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